퍼지이론
1. 고전집합과 퍼지집합을 비교하여 설명하라.
고전집합에서 어떠한 집합 \( A \)는 전체집합 \( U \)의 부분집합으로, 임의의 원소 \( x \in U \)는 \( A \)의 원소이거나 원소가 아닌 두 가지 상태 중 하나이다. 즉, \( x \)가 \( A \)의 원소라는 사실은 참(1)이나 거짓(0) 둘 중 하나이다. 그러나 집합 \( A \)가 퍼지집합이라면 임의의 원소 \( x \in U \)가 \( A \)의 원소라는 사실은 0부터 1 범위의 수로 표현한다. 즉, 어떠한 원소가 집합에 포함될 가능성을 나타내는 값을 소속함수 \( \mu \)로 표현한다면 집합 \( A \)가 고전집합일 경우 소속함수 \( \mu_A \)는 다음과 같다.
\[ \mu_A : U \rightarrow \{0, 1\} \]
반면 집합 \( A \)가 퍼지집합이라면 소속함수 \( \mu_A \)는 다음과 같다.
\[ \mu_A : U \rightarrow [0, 1] \]
2. 퍼지집합 \(A\)와 \(B\)에 대하여 다음의 드모르간 법칙이 성립함을 보여라.
\[ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \]
\( \overline{A \cap B} \)의 소속함수 \( \mu_{\overline{A \cap B}}(x) \)는 다음과 같다.
\[ \mu_{\overline{A \cap B}}(x) = 1 - \mu_{A \cap B}(x) \]
\[ = 1 - \min \{\mu_A(x), \mu_B(x)\} \]
\[ = \max \{1 - \mu_A(x), 1 - \mu_B(x)\} \]
\[ = \max \{\mu_{\overline{A}}(x), \mu_{\overline{B}}(x)\} \]
\[ = \mu_{ \overline{A} \cup \overline{B} }(x) \]
1. 퍼지집합의 원소 \( x \)의 소속함수 \( \mu(x) \)에 대한 올바른 설명은?
① \( \mu(x) \)의 값은 0 또는 1 중 하나이다.
② 한 집합의 모든 원소는 동일한 소속함수값을 갖는다.
③ 집합에 속한 모든 원소의 소속함수값의 합은 1이다.
④ 퍼지집합 \( A \)와 \( B \)의 합집합의 소속함수 \( \mu_{A \cup B}(x) \)는 \( \mu_A(x) \)와 \( \mu_B(x) \) 중 큰 값이다.
정답: 4
해설: 퍼지집합에서 원소의 소속함수는 0부터 1까지의 실수값으로 원소가 집합에 소속될 가능성을 나타낸다. 두 퍼지집합의 합집합은 각각의 원소에 대해 소속함수값의 최대값을 소속함수로 한다.
2. 퍼지집합 \( A \)의 소속함수 \( \mu_A(x) \)에 대하여 적절히 표현한 것은? 단, \([a, b]\)는 집합 \(\{v | a \le v \le b\}\)인 실수를 나타낸다.
① \( \mu_A(x) \in \{0, 1\} \)
② \( \mu_A(x) \in \{-1, 0, 1\} \)
③ \( \mu_A(x) \in [-1, 1] \)
④ \( \mu_A(x) \in [0, 1] \)
정답: 4
해설: 퍼지집합에서 원소의 소속함수는 0부터 1까지의 실수값으로 원소가 집합에 소속될 가능성을 나타낸다.
※ (3~4) 다음과 같이 정의된 퍼지집합 \( A \)와 \( B \)의 연산에 대한 질문에 답하라.
\[
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & \mu_A(x) & \mu_B(x) & \mu_{A \cup B}(x) & \mu_{A \cap B}(x) \\
\hline
a & 1 & 0 & (ㄱ) & (ㅁ) \\
b & 0.6 & 0.5 & (ㄴ) & (ㅂ) \\
c & 0.2 & 0.7 & (ㄷ) & (ㅅ) \\
d & 0 & 0 & (ㄹ) & (ㅇ) \\
\end{array}
\]
3. (ㄱ)~(ㄹ)에 넣을 값을 순서대로 나열한 것은?
① 1, 0.6, 0.7, 0
② 0, 0.5, 0.2, 0
③ 1, 0.6, 0.2, 0
④ 0, 0.5, 0.7, 0
정답: 1
해설: 퍼지집합의 합집합은 소속함숫값의 최댓값을 취한다.
4. (ㄱ)~(ㅇ)에 넣을 값을 순서대로 나열한 것은?
① 1, 0.6, 0.2, 0
② 0, 0, 0, 1
③ 0, 0.4, 0.8, 1
④ 0, 0.4, 0.8, 0
정답: 3
해설: 퍼지집합의 여집합은 원 소속함수값을 1에서 뺀 값을 소속함수값으로 계산한다.
5. 퍼지집합 \( A \)와 \( B \)의 소속함수가 다음과 같을 때 \( A \cap B \)의 소속함수는?
정답: 1
해설: 두 집합의 소속함수 그래프의 작은 값에 해당되는 것을 구하면 된다.
6. 퍼지논리의 연산자를 적절히 정의한 것은?
① \( a = 0.5a \)
② \( a \land b = a - b \)
③ \( a \lor b = \max(a, b) \)
④ \( a \to b = a + b \)
정답: 3
해설: 퍼지논리에서 논리합은 두 논리값의 최댓값으로, 논리곱은 최소값으로 정할 수 있다. 부정의 논리값은 \( a = 1 - a \)이다. 조건명제 \( a \to b \)는 \(\min(1, 1 - a + b)\)로 정의할 수 있다.
7. 다음 중 퍼지논리에서 성립하는 등식은 무엇인가?
① \( a \land 0 = a \)
② \( a \land a = 0 \)
③ \( a \land \overline{a} = 1 \)
④ \( a \lor \overline{b} = \overline{a \land b} \)
정답: 4
해설: ④는 드모르간의 법칙으로, 고전논리에서와 같이 퍼지논리에서도 성립한다. ①에서 \( a \land 0 = 0 \)이다. ②와 ③은 고전논리에서는 성립하나 퍼지논리에서는 성립하지 않는 등식이다.
7-2. 다음 중 이진논리에서는 성립하나, 퍼지논리에서는 성립하지 않는 등식은?
① \( a \lor 1 = 1 \)
② \( a \land 0 = 0 \)
③ \( a \land \overline{a} = 0 \)
④ \( a \lor b = b \lor a \)
정답: 3
해설: 이진논리에서는 \( a \land \overline{a} \)가 항상 0이지만, 퍼지논리에서는 \( a \)와 \( \overline{a} \)가 동시에 0.5일 때 \( a \land \overline{a} = 0.5 \)가 되어 성립하지 않는다.
다른 선지 설명: ① \( a \lor 1 = 1 \)은 이진논리와 퍼지논리 모두에서 항상 참이다. ② \( a \land 0 = 0 \)도 두 논리 모두에서 성립한다. ④ \( a \lor b = b \lor a \)는 교환법칙으로 두 논리에서 항상 참이다.
8. 퍼지추론 및 제어기에 대한 올바른 설명을 모두 나열한 것은?
(ㄱ) 조건 및 결론부에 언어적 변수를 포함한다.
(ㄴ) 일반 규칙과 동일한 추론절차를 사용한다.
(ㄷ) 추론된 결과를 비퍼지화하여 제어 대상을 제어한다.
(ㄹ) 규칙의 조건에 대한 소속함수값은 0 또는 1이다.
① (ㄱ), (ㄴ)
② (ㄱ), (ㄷ)
③ (ㄴ), (ㄷ)
④ (ㄴ), (ㄹ)
정답: 2
해설: 퍼지추론은 언어적 형태의 규칙을 사용하며, 조건의 정도를 나타내는 수식어를 통해 융통성 있게 규칙을 적용할 수 있도록 한다. 추론의 결과는 퍼지 소속함수의 형태로 제시되며, 이를 통해 실제 제어를 하려면 특정한 값으로 변환하는 비퍼지화를 하여 사용한다. 일반 규칙과는 추론절차가 다르다.
9. "IF (수위가 높다) THEN (밸브를 연다)"라는 퍼지규칙이 있다. 제어 대상으로부터 관측된 사실이 '수위가 상당히 높다'이며, 이에 대한 소속함수가 다음 그림과 같을 때, 이 규칙을 적용한 결과 얻는 결론의 소속함수는?
정답: 4
해설: 관측된 사실을 조건부와 정합한 결과는 이들의 논리곱이며, 이의 최댓값인 0.6과 결론부의 논리곱을 한 것이 이 규칙에 의한 결론이다. 따라서 그 결과는 ④와 같다.
1. 퍼지집합의 유용성을 설명하라.
퍼지집합은 불확실성이나 모호성을 다루는 데 유용하다. 전통적인 이진집합에서는 요소가 집합에 속하거나 속하지 않는 두 가지 상태만 존재하지만, 퍼지집합은 요소가 특정 집합에 속할 확률을 0에서 1 사이의 값으로 나타낼 수 있다. 이를 통해 현실 세계의 복잡하고 애매한 상황을 보다 정확하게 모델링할 수 있다. 예를 들어, 날씨를 '맑음'이나 '흐림'으로 이분화하는 대신, 퍼지집합을 사용하면 '맑음'의 정도를 수치화하여 표현할 수 있다.
2. 퍼지집합의 연산자를 설명하라.
퍼지집합의 연산자는 주로 퍼지 논리에서 사용되며, 주요 연산자로는 합집합, 교집합, 여집합이 있다. 합집합 연산은 두 퍼지집합의 최대값을 취하며, 교집합 연산은 최소값을 취한다. 여집합 연산은 특정 요소의 소속도를 1에서 뺀 값으로 계산한다. 이 연산자들은 퍼지 논리의 규칙에 따라 작동하며, 퍼지 시스템에서의 추론과 결정을 가능하게 한다.
3. 다음 두 퍼지집합을 덧셈하라.
\[ A = \{(2, 0.5), (3, 0.4), (5, 0.3), (6, 0.2)\} \]
\[ B = \{(5, 0.9), (6, 0.1), (8, 0.4)\} \]
퍼지집합의 덧셈은 두 집합의 요소를 하나의 새로운 집합으로 결합하는 연산이다. 여기서 덧셈은 집합의 요소를 결합하여 결과 집합을 생성하는 것으로 이해할 수 있다.
\( A + B = \{(2, 0.5), (3, 0.4), (5, 0.3 + 0.9), (6, 0.2 + 0.1), (8, 0.4)\} \)
즉,
\[ A + B = \{(2, 0.5), (3, 0.4), (5, 1.2), (6, 0.3), (8, 0.4)\} \]
4. 문제 3의 두 집합의 합집합과 교집합을 구하라.
합집합은 각 요소의 소속도 중 최대값을 취하는 연산이고, 교집합은 최소값을 취하는 연산이다.
합집합:
\[ A \cup B = \{(2, 0.5), (3, 0.4), (5, \max(0.3, 0.9)), (6, \max(0.2, 0.1)), (8, 0.4)\} \]
즉,
\[ A \cup B = \{(2, 0.5), (3, 0.4), (5, 0.9), (6, 0.2), (8, 0.4)\} \]
교집합:
\[ A \cap B = \{(5, \min(0.3, 0.9)), (6, \min(0.2, 0.1))\} \]
즉,
\[ A \cap B = \{(5, 0.3), (6, 0.1)\} \]
따라서 두 퍼지집합의 합집합은 \( \{(2, 0.5), (3, 0.4), (5, 0.9), (6, 0.2), (8, 0.4)\} \)이고, 교집합은 \( \{(5, 0.3), (6, 0.1)\} \)이다.
5. 퍼지수식 \( a, b \)가 다음과 같은 값을 가질 때, 각각에 대해 퍼지논리 연산자(부정, 논리합, 논리곱, 조건명제)를 적용해 보라.
(1) \( a = 0.7 \quad b = 0.8 \)
(2) \( a = 0.4 \quad b = 0.9 \)
(1) \( a = 0.7 \quad b = 0.8 \)
1. 부정 (Negation)
\[ \overline{a} = 1 - a = 1 - 0.7 = 0.3 \]
\[ \overline{b} = 1 - b = 1 - 0.8 = 0.2 \]
2. 논리합 (Union)
\[ a \lor b = \max(a, b) = \max(0.7, 0.8) = 0.8 \]
3. 논리곱 (Intersection)
\[ a \land b = \min(a, b) = \min(0.7, 0.8) = 0.7 \]
4. 조건명제 (Implication)
\[ a \Rightarrow b = \min(1, 1 - a + b) = \min(1, 1 - 0.7 + 0.8) = \min(1, 1.1) = 1 \]
(2) \( a = 0.4 \quad b = 0.9 \)
1. 부정 (Negation)
\[ \overline{a} = 1 - a = 1 - 0.4 = 0.6 \]
\[ \overline{b} = 1 - b = 1 - 0.9 = 0.1 \]
2. 논리합 (Union)
\[ a \lor b = \max(a, b) = \max(0.4, 0.9) = 0.9 \]
3. 논리곱 (Intersection)
\[ a \land b = \min(a, b) = \min(0.4, 0.9) = 0.4 \]
4. 조건명제 (Implication)
\[ a \Rightarrow b = \min(1, 1 - a + b) = \min(1, 1 - 0.4 + 0.9) = \min(1, 1.5) = 1 \]
따라서 각각의 퍼지논리 연산자는 다음과 같다.
(1) \( a = 0.7 \quad b = 0.8 \)
- 부정: \( \overline{a} = 0.3 \), \( \overline{b} = 0.2 \)
- 논리합: \( a \lor b = 0.8 \)
- 논리곱: \( a \land b = 0.7 \)
- 조건명제: \( a \Rightarrow b = 1 \)
(2) \( a = 0.4 \quad b = 0.9 \)
- 부정: \( \overline{a} = 0.6 \), \( \overline{b} = 0.1 \)
- 논리합: \( a \lor b = 0.9 \)
- 논리곱: \( a \land b = 0.4 \)
- 조건명제: \( a \Rightarrow b = 1 \)
6. 두 퍼지명제가 다음과 같고, 그것들의 진릿값이 다음과 같이 주어졌다고 하자. 조건명제 \( A \rightarrow B \)의 진릿값을 구하라.
\[ A : x_1 = 0.4 \]\[ B : x_2 = 0.5 \]
퍼지 논리에서 조건명제 \( A \rightarrow B \)의 진릿값은 \( \min(1, 1 - A + B) \)로 계산된다.
\[ A = 0.4 \]
\[ B = 0.5 \]
따라서,
\[ A \rightarrow B = \min(1, 1 - A + B) = \min(1, 1 - 0.4 + 0.5) = \min(1, 1.1) = 1 \]
따라서 조건명제 \( A \rightarrow B \)의 진릿값은 1
1. 퍼지집합 X와 Y가 다음과 같을 때 퍼지집합 연산이 올바른 것은? (단, A^C는 A의 여집합을 나타낸다.)
1) X^C = {(b, 0.3), (c, 0.8), (d, 0.9)}
2) X∪Y = {(a, 1.0), (b, 0.7), (c, 0.5), (d, 0.8), (e, 1.0)}
3) X∩Y = {(a, 1.0), (b, 0.2), (c, 0.2), (d, 0.1), (e, 1.0)}
4) Y^C = {(a, 0.0), (b, 0.8), (c, 0.5), (d, 0.2), (e, 0.0)}
정답: 2
해설 : X∪Y는 X와 Y의 소속함수의 최댓값으로 각 원소의 소속함수 값이 정해지며, X∩Y는 X와 Y의 소속함수의 최솟값으로 각 원소의 소속함수 값이 정해진다. ③에서 집합 Y에 대해 a의 소속함수는 0이므로 X∩Y에서 a의 소속함수 값은 0이다. 여집합은 전체집합에 대해 구한다. 이 문제에서 전체집합이 명시되지는 않았지만, Y에 (e, 1.0)이 있는 것으로 유추하였을 때 XC에는 최소한 (e, 1.0)이 포함되어 있어야 함을 알 수 있다. 또한 Y에서 a의 소속함수가 0.0이므로 YC에서 a의 소속함수는 1.0이 되어야 한다.
2. 다음 중 퍼지논리에서 성립하는 등식은 무엇인가?
1) a∧0 = a
2) a∧~a = 0
3) a∨~a = 1
4) ~(a∨b) = ~a∧~b
정답:
해설 : ④는 드모르간의 법칙으로, 고전논리에서와 같이 퍼지논리에서도 성립한다. ①에서 a∧0=0이다. ②와 ③은 고전논리에서는 성립하나 퍼지논리에서는 성립하지 않는 등식이다.
3. “IF (수위가 높다) THEN (밸브를 연다)”라는 퍼지 규칙이 있다. 제어 대상으로부터 관측된 사실이 “수위가 상당히 높다”이며, 이에 대한 소속함수가 다음 그림과 같을 때, 이 규칙을 적용한 결과 얻는 결론의 소속함수는?
1)
2)
3)
4)
정답: 4
해설: 관측된 사실을 조건부와 정합한 결과는 이들의 논리곱이며, 이의 최댓값인 0.75와 결론부의 논리곱을 한 것이 이 규칙에 의한 결론이다. 따라서 그 결과는 ④와 같다.
참고 자료:
- 인공지능 (이광형,이병래 공저 | 한국방송통신대학교출판문화원 | 2018)
